- 主题:三角形面积海伦公式的推导有吗
如果需要从三角形三边长计算面积的话，可以如下思考：
1、三边长a、b、c可以唯一确定面积S，说明存在函数S=S(a,b,c)。
2、S(a,b,c)关于三自变量对称，且齐次。
3、S=0当且仅当三个点在同一直线上，所以S中包含因子(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。
4、在(a+b-c)->0时，S正比于sqrt(a+b-c)，所以S^2=(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)*f(a,b,c)。其中f(a,b,c)是长度的一次函数，且关于三自变量对称，所以f(a,b,c)=k*(a+b+c)。
【 在 xheliu 的大作中提到: 】
: 很好奇这个公式的推导。从来没有看到过。
: 不是证明。古人真是聪明。
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FROM 49.77.157.*
为啥不能加上（a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)呢？
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 如果需要从三角形三边长计算面积的话，可以如下思考：
: 1、三边长a、b、c可以唯一确定面积S，说明存在函数S=S(a,b,c)。
: 2、S(a,b,c)关于三自变量对称，且齐次。
: ...................
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FROM 119.139.198.*
用你的办法，试试圆内接四边形。形式一样。
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 如果需要从三角形三边长计算面积的话，可以如下思考：
: 1、三边长a、b、c可以唯一确定面积S，说明存在函数S=S(a,b,c)。
: 2、S(a,b,c)关于三自变量对称，且齐次。
: ...................
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FROM 210.72.148.*
圆内接四边形没有a+b-c=0这种面积为0的直观判断条件，所以它的面积公式应该不具备这种简单因子。
【 在 xheliu 的大作中提到: 】
: 用你的办法，试试圆内接四边形。形式一样。
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FROM 49.77.157.*
婆罗摩笈多公式
S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
p为半周长
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 圆内接四边形没有a+b-c=0这种面积为0的直观判断条件，所以它的面积公式应该不具备这种简单因子。
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FROM 111.199.189.*
我刚回复完发现我想错了，只想着需要两个边长为0才行，犯了外接圆半径不变的错觉。如果a+b+c-d=0是能够得出面积等于0的。所以面积里应该含有a+b+c-d。
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 婆罗摩笈多公式
: S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
: p为半周长
: ...................
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FROM 49.77.157.*
再想一下，唯一和对称两个条件对于圆内接N边形都成立，所以圆内接N边形的面积S都有
sqrt(p-a_i)这样的因子，比如圆内接五边形很可能满足
S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)(p-e)/p，其中p是半周长。
【 在 zxf 的大作中提到: 】
: 我刚回复完发现我想错了，只想着需要两个边长为0才行，犯了外接圆半径不变的错觉。如果a+b+c-d=0是能够得出面积等于0的。所以面积里应该含有a+b+c-d。
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修改:zxf FROM 49.77.157.*
FROM 49.77.157.*
圆的外接四边形的面积公式推导
\[
\infty=\cot(\arctan(r/s_1)+\arctan(r/s_2)+\arctan(r/s_3)+\arctan(r/s_4))
\]
\[
\frac{s_1s_2/r^2-1}{s_1/r+s_2/r}=-\frac{s_3s_4/r^2-1}{s_3/r+s_4/r}
\]
\[
(s_1s_2-r^2)(s_3+s_4)=-(s_3s_4-r^2)(s_1+s_2)
\]
\[
r^2(s_1+s_2+s_3+s_4=s)=s_1s_2(s_3+s_4)+s_3s_4(s_1+s_2)=ss_1s_2+(s_1+s_2)(s_1s_2-s_3s_4)
\]
\[
0=s(s_1s_2-s_3s_4)
\]
\[
S=s\sqrt{s_1s_2}
\]
与你提到的结果好像不同。另外，同样边长可能有两个构造(上面那个分子式无穷大），印度人在电视上演示过这个。这好像是我第二次在这个论坛上就这个问题发言。印度人可能几千年都未搞清楚，前两年才明白。这个对希腊几何来说是有点难，也显示了代数的威力。
【 在 calculus2000 的大作中提到: 】
: 婆罗摩笈多公式
: S^2=(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)
: p为半周长
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修改:supproton FROM 117.155.182.*
FROM 117.155.182.*
古代大哥，三次方程的代数解都17世纪塔塔尼亚了。。
【 在 supproton 的大作中提到: 】
: 三次方程不是有代数解吗，有马厉害的？适当的带入可以降次。
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FROM 14.120.88.*
记得初中时自己推导出了这个公式
【 在 xheliu 的大作中提到: 】
: 很好奇这个公式的推导。从来没有看到过。
: 不是证明。古人真是聪明。
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发自「今日水木 on HMA-AL00」
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FROM 223.104.13.*